Question

如图，多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：由多面体PABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰三角形，，

　　且平面PAD⊥平面ABCD　　2分

　　(1)连结AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA　　4分

　　且PA平面PAD，EF平面PAD，

　　∴EF∥平面PAD　　6分

　　(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，

　　平面PAD∩平面ABCD＝AD，

　　又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，

　　∴CD⊥PA　　8分

　　又，AD＝2，所以△PAD是等腰直角三角形，

　　且，即PA⊥PD　　10分

　　又CD∩PD＝D，

　　∴PA⊥平面PDC，

　　又PA平面PAD，

　　所以平面PAD⊥平面PDC　　12分