Question

19．已知α为钝角，β为锐角，满足cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则α-β=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosβ的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α-β） 的值，可得α-β的值．

解答 解：∵已知α为钝角，β为锐角，满足cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
则cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根据 α-β∈（0，π），可得α-β=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．