Question

已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=2．
（1）求过点A（2-

2

，0）的⊙C的切线方程；
（2）从点B（-3，3）发出的光线l经x轴反射，其反射光线被⊙C所截得的弦长为2，求入射光线l所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）首先点A在圆外，故引⊙C的切线共有两条．斜率不存在时，符合题意；斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径，可求切线方程；
（2）根据对称性，将反射光线被⊙C所截得的弦长为2等价转化为入射光线被⊙C关于x轴对称圆所截得的弦长为2，从而可求入射光线l所在的直线方程．

解答：解：（1）当斜率不存在时，有x=2-

2

，圆心到直线的距离为

2

，符合题意；-----------（2分）
当斜率存在时，设切线方程为y=k[x-(2-

2

)]，
即kx-y-k(2-

2

)=0，
由圆心到切线的距离等于半径得：

|2k-2-k(2- 2 )|

1+k2

=

2

，|

2

k-2|=

2(k2+1)

，---------------（4分）
得k=

2

4

，所以y=

2

4

[x-(2-

2

)]，
综上：所求切线方程为

3

x-4y+2-2

2

=0或x=2-

2

．-----（7分）
（2）由题意，⊙C关于x轴对称的圆C₁方程为（x-2）²+（y+2）²=2，----------（9分）
设过B与圆C₁相交且截得的弦长为2的直线l方程为y-3=k（x+3），
即kx-y+3+3k=0
由垂径定理得：

|2k+2+3+3k|

1+k2

=1，----------（11分）
即5|k+1|=

k2+1

解得：k=-

3

4

或k=-

4

3

，---------（13分）
所以l方程为y-3=-

3

4

(x+3)或y-3=-

4

3

(x+3)
所以所求直线方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．---------（14分）

点评：本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查圆的切线方程，圆的对称性，关键是利用圆的特殊性，利用圆心到直线的距离解决直线和圆的位置关系问题．