Question

10．如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，且C₁B₁⊥AB．
（1）求证：CB⊥平面A₁ABB₁    
（2）若C₁B₁=3，AB=4，∠ABB₁=60°，求AC₁与平面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得C₁B₁⊥AB，AB⊥BC，BC⊥BB₁，由此能证明BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）作出△ABB₁的高AM，则AM⊥平面BCC₁B₁，连接AC₁、C₁M，则AM⊥C₁M．AC₁与平面BCC₁所成角度就是AC₁与平面BCC₁B₁所成角度，也就是∠AC₁M．由此能求出AC₁与平面BCC₁B₁所成角的大小．

解答 证明：（1）∵四边形BCC₁B₁是矩形，且C₁B₁⊥AB，
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）∵平面BCC₁B₁是矩形，C₁B₁⊥B₁B，C₁B₁⊥AB，
∴C₁B₁⊥平面A₁ABB₁，则平面BCC₁B₁⊥平面A₁ABB₁．两平面的交线是BB₁．∵A₁ABB₁是菱形，且∠ABB₁=60°，∴△ABB₁是等边三角形，
作出△ABB₁的高AM，则AM⊥平面BCC₁B₁，
连接AC₁、C₁M，则AM⊥C₁M．
AC₁与平面BCC₁所成角度就是AC₁与平面BCC₁B₁所成角度，也就是∠AC₁M．
由题设，在等边△ABB₁中，B₁M=MB=$\frac{AB}{2}$=2，AM=2$\sqrt{3}$，
在直角△C₁B₁M中，C₁M=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
在直角△AMC₁中，tan∠AC₁M=$\frac{AM}{{C}_{1}M}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴∠AC₁M=arctan$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴AC₁与平面BCC₁B₁所成角的大小为arctan$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大粘的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．