Question

19．若P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的动点，F是椭圆的右焦点，已知点A（1，3），则|PA|+|PF|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． 5
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 如图所示，由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得：a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．设椭圆的左焦点为F′，连接PF′，AF′．由椭圆的定义可得：|PF|=2a-|PF′|，于是|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|．

解答 解：如图所示，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得：a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
F（3，0）．
设椭圆的左焦点为F′（-3，0），连接PF′，AF′．
则|PF|=2a-|PF′|，
∴|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|=10-$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴|PA|+|PF|的最小值为5．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．