Question

19．圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm，母线长AB=20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点（A在上底面），求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离；
（3）圆锥底面半径为r，母线长为4r，求从底面边缘一点A出发绕圆锥侧面一周再回到A的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线；
（2）根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离；
（3）画出圆台的侧面展开图，有（1）中结论，可得圆心角θ=$\frac{π}{2}$，进而得到答案．

解答 解：（1）画出圆台的侧面展开图，

并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O．
有图得：所求的最短距离是MB'，
设OA=R，圆心角是θ，则由题意知，
10π=θR  ①，20π=θ（20+R）  ②，由①②解得，θ=$\frac{π}{2}$，R=20，
∴OM=30，OB'=40，则MB'=50cm．
故绳子最短的长度为：50cm．
（2）作OC垂直于B'M交于D，OC是顶点O到MB'的最短距离，
则DC是MB'与弧AA'的最短距离，DC=OC-OD=$\frac{OM•OB′}{MB′}$-20=4cm，
即绳子上各点与上底面圆周的最短距离是：4cm．
（3）画出圆台的侧面展开图，

∵圆锥底面半径为r，母线长为4r，
则圆心角θ=$\frac{π}{2}$，
故从底面边缘一点A出发绕圆锥侧面一周再回到A的最短距离为：4$\sqrt{2}$r．

点评 本题考查了在几何体表面的最短距离的求出，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想．