Question

【题目】一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台阶，或者一次上4级台阶.若这个人上级台阶总共有种走法，证明为平方数.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

若最后一步上1级台阶，前面有种走法；

若最后一步上3级台阶，前面有种走法；

若最后一步上4级台阶，前面有种走法.

于是，.

又，，，，故有足够多的初始条件使得能被唯一确定.

以下用数学归纳法证明两个结论.

（1）.①

当时，，式①显然成立.

设小于时，对所有的奇数项均有式①成立.

则时，有（由递推式）

（由归纳假设）.故时式①也成立.

综上，时式①成立.

（2）.②

当时，，式②显然成立.

设时，有成立.

当时，

.

因此，.

若为平方数，由于为整数，则必有为平方数.

又为平方数，由数学归纳法，易得为平方数.