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    已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的左顶点为A,上顶点为B,左焦点F到直线AB的距离为|OB|,求椭圆的离心率.

    e=


    解析:

    解法一:直线AB的方程为+=1,即bx-ay+ab=0,

    ∴d==b.

    ∵a2-b2=c2,a>b,a>c,

    ∴5a2-14ac+8c2=0.

    ∴8e2-14e+5=0.

    解得e=或e=(舍).

    解法二:如图,作F1D⊥AB于D,则|F1D|=|OB|=b.

    由△AF1D∽△ABO,得.

    ∴5a2-14ac+8c2=0.

    ∴8e2-14e+5=0.解得e=或e=(舍).

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    已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为,且经过点,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。 

    （1）求椭圆E的方程

    （2）现将椭圆E上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，求所得曲线的焦点坐标和离心率

    （3）是否存在直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程。若不存在，说明理由。

     

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    已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且椭圆经过点，

    (I)求椭圆C的标准方程;

    (Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线与椭圆C交于不同的两点A,B满足·,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

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