Question

某人随机地将编号为1，2，3，4的四个大小相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个型号相同的盒子中，每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放法恰当”，否则叫做“放法不恰当”．设放法恰当的情况数为随即变量ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的期望与方差．

Answer 1

分析：由题意ξ可能取：0，1，2，4，再利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数的有关知识分别求出其发生的概率，即可求出ξ的分布列，然后根据期望公式与方差公式求出答案．

解答：解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，
则P(ξ=1)=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，P(ξ=2)=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

1

4

，P(ξ=4)=

1

A 4 4

=

1

24

，P(ξ=0)=1-

1

3

-

1

4

-

1

24

=

3

8

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

…（9分）
∴Eξ=1×

1

3

+2×

1

4

+4×

1

24

=1．
Dξ=（0-1）²×

3

8

+（1-1）²×

1

3

+（2-1）²×

1

4

+（4-1）²×

1

24

=1…（12分）

点评：此题考查了等可能事件的概率公式与离散型随机变量的分布列，并且利用分布列与有关的公式求出数学期望与方差，并且也考查了排列组合的有关知识，此题属于基础题，高考命题的热点之一，此类型的题目一般以大题的形式出现．