Question

函数f(x)=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx，（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移2个单位得到函数g（x），求g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式与辅助角公式可将f（x）化简为f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），依题意知，A的纵坐标为2

3

，

T

2

=4，从而可求ω及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=f（x-2）=2

3

sin（

π

4

x-

π

6

），由正弦函数的单调性即可求得g（x）的单调减区间．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：f（x）=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx
=

3

sinωx+3cosωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），
∵A为图象的最高点，
∴A的纵坐标为2

3

，
又∵△ABC为正三角形，
∴|BC|=4，
∴

T

2

=4可得T=8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
（Ⅱ）由题意可得g（x）=2

3

sin[

π

4

（x-2）+

π

3

]=2

3

sin（

π

4

x-

π

6

），
令2kπ+

π

2

≤

π

4

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
可得

1

2

+2k≤

1

4

x-

1

6

≤

3

2

+2k，k∈Z，
∴

8

3

+8k≤x≤

20

3

+8k，（k∈Z）
∴g（x）的单调减区间为[

8

3

+8k，

20

3

+8k]（k∈Z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的单调性，属于中档题．