Question

已知点集L={（x，y）|y=

m

•

n

}，其中

m

=（2x-b，1），

n

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁为L与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试写出S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）若f（n）=

an，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）首先运用向量数量积的运算得

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根据等差通项公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后在根据b_n=2a_n+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）此小问关键在于分类讨论（1）当n=2k时（2）当n=2k-1时，然后根据等差数列的求和公式即可；
（Ⅲ）先假设存在k∈N⁺，使得f（m+k）=2f（m），因为m为奇数；再分k为奇数和k为偶数两种情况分别求出对应的k的值即可．

解答：解（Ⅰ）y=

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1与y轴的交点P₁（a₁，b₁）为（0，1）
∴a₁=0；
∵等差数列{a_n}的公差为1
∴a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，
因为P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2a_n+1，即b_n=2n-1
（Ⅱ）由题意得：
f（n）=

n-1     (  n=2k-1，k∈N+) 2n-1   (n=2k，k∈N+)

①当n=2k时，s_n=s_2k=a₁+b₂+a₂+b₄+…+a_2k-1+b_2k
=（a₁+a₂+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-1

2

×k=3k²．
因为k=

n

2

．所以Sn=

3

4

n2
②当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=S_2k-2+f（2k-1）
=3（k-1）²+2k-2=3k²-4k+1．
因为k=

n+1

2

．所以S_n=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

．
因此S_n=

3 4 n2           (n=2k，k∈N+) 3 4 n2- n 2 - 1 4    (n=2k-1，k∈N+)

．
（Ⅲ）假设存在k∈N⁺，使得f（m+k）=2f（m），因为m为奇数，
（1）若k为奇数，则k+m为偶数，于是f（m）=m-1，f（m+k）=2（m+k）-1，
由2（m+k）-1=2（m-1），得k=-

1

2

与k∈N⁺矛盾；（11分）
（2）若k为偶数，则k+m为奇数，于是f（m）=m-1，f（m+k）=（m+k）-1，
由（m+k）-1=2（m-1），得k=m-1（m-1是正偶数）．（13分）
综上，对于给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2），这样的k总存在且k=m-1．（14分）

点评：本题是对数列知识与函数知识的综合考查．在本题的第二问和第三问均用到了分类讨论思想，分类讨论的熟练应用是解决本题的关键．