Question

（2008•襄阳模拟）设min{x₁，x₂，…，x_n}表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一个．给出下列命题：
①min{x²，x-1}=x-1；         
 ②设a、b∈R⁺，有min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；
③设a、b∈R，a≠0，|a|≠|b|，有min{|a|-|b|，

|a2-b2|

|a|

}=|a|-|b|．
其中所有正确命题的序号有（　　）

Answer 1

分析：用差值比较法比较x²，x-1的大小可验证①的正确性；
利用基本不等式与不等式的性质分析a≤

1

2

和a＞

1

2

时两种情况下，

b

4a2+b2

与

1

2

的大小，来验证②正确性；
利用不等式的性质与绝对值不等式

|a+b|

a

≥1，|a-b|≥|a|-|b|，

|a2-b2|

|a|

与|a|-|b|的大小，来验证③的正确性．

解答：解：∵x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0，∴min{x²，x-1}=x-1，①正确；
对②分两种情况讨论：当a≤

1

2

时，min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；

当a＞

1

2

时，∵4a²+b²≥4ab＞0，∴

b

4a2+b2

≤

1

4a

＜

1

2

，∴min{a，

b

4a2+b2

}≤

1

2

；故②正确；
对③∵

|a+b|

a

≥1，|a-b|≥||a|-|b||，∴

|a2-b2|

|a|

=

|a-b||a+b|

|a|

≥|a-b|≥|a|-|b|；∴③正确；
故选D

点评：本题考查了实数比较大小的方法，一般有一下几种常见方法有作差法、利用函数的单调性、作商法、利用基本不等式及绝对值不等式等