Question

对于二项式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四个命题：
①展开式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展开式中非常数项系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

对于二项式（1-x）¹⁹⁹⁹，二项式项的公式T_r+1=C_n^r1^n-r（-1）^r，
对于命题①，T₁₀₀₀=C₁₉₉₉⁹⁹⁹1¹⁰⁰⁰（-x）⁹⁹⁹，=-C₁₉₉₉⁹⁹⁹x⁹⁹⁹，故此命题不正确；
对于命题②展开式中非常数项系数和是-1，故命题不正确；
对于命题③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项不正确，因为相邻二项一正一负，故不可能同时是系数最大项；
对于命题当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1是正确的，因为展开式中不含有2000的项是1，故当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1是正确的．
故答案为：④．