【题目】如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,,,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面ADF.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)这个结论不正确.要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点,理由见解析
【解析】
(1)在平面图形中,连接MN与AB交于点G,在平面图形中可证,当点F,A,D不共线时,,,可证平面ADF,平面ADF,从而有平面平面ADF,即可证明结论;
(2)这个结论不正确.要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.
当点F,A,D共线时,由(1)得;当点F,A,D不共线时,平面平面FDA,则要使,满足FD与AN共面,只要FM与DN相交即可,可证交点只能为点B,得出只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.
(1)证明:在平面图形中,连接MN,与AB交于点G.
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,,
∴且,
∴四边形ADBE是平行四边形,∴.
又,∴四边形ADNM是平行四边形,∴.
当点F,A,D不共线时,如图,,,
平面,平面,所以平面ADF,
同理平面ADF,又,
平面,∴平面平面ADF.
又平面GNM,∴平面ADF.
故当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FA D.
(2)解:这个结论不正确.
要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下:
当点F,A,D共线时,由(1)得.
当点F,A,D不共线时,如图,
由(1)知平面平面FDA,则要使总成立,
根据面面平行的性质定理,只要FD与共面即可.
若要使FD与共面,连接FM,只要FM与DN相交即可,
∵平面ABEF,平面ABCD,
平面平面,
∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,
由于四边形为平行四边形,与的交点为的中点,
则只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.
由,
可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.
∵平面平面,
平面平面,
平面平面FDA,∴.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.非零向量满足,则与的夹角为
B.若,则的夹角为锐角
C.若,则一定是直角三角形
D.的外接圆的圆心为O,半径为1,若,且,则向量在向量方向上的投影的数量为
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【题目】某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等级.若考核为合格,授予10分降分资格;考核为优秀, 授予20分降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等级相互独立.
(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
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【题目】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为,,……,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量.
(2)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列.
(3)从流水线上任取件产品,求恰有件产品合格的重量超过克的概率.
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【题目】在△ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,且有bcosC+ccosB=2acosB.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积是,且a+c=5,求b.
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【题目】某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布,且规定尺寸为次品,其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱,然后进入销售环节,若每销售一件正品可获利50元,每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析,作出的频率分布直方图如下:
(1)估计生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸;
(2)从生产线上随机取一箱零件,求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率.
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