Question

【题目】已知数列{an}中，a1=1，前n项和Sn= an ．
（1）求a2 ， a3 ， 及{an}的通项公式．
（2）求{ }的前n项和Tn ， 并证明：1≤Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由S2= a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，

解得：a2=3a1=3；

由S3= a3得3（a1+a2+a3）=5a3，

解得：a3= （a1+a2）=6．

由题设知a1=1，

当n＞1时有an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1，

整理得：an= an﹣1．

于是a1=1，a2= a1，a3= a2，…，an﹣1= an﹣2，an= an﹣1，

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an= ，

综上，{an}的通项公式an=

（2）解：∵ = ，

∴Tn=2[ + +…+ ]=2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）=2（1﹣ ）=2﹣ ＜2，即Tn＜2，

又Tn+1＞Tn，{Tn}单调增，

∴Tn＞=T1=1，

则1≤Tn＜2

【解析】（1）根据已知等式确定出a2 ， a3 ， 得出{an}的通项公式即可；（2）表示出{ }的前n项和Tn ， 根据前n项和Tn为递增数列，确定出Tn的范围，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．