Question

1．求证：方程（z+1）²ⁿ+（z一1）²ⁿ=0只有纯虚数根．

Answer 1

分析 根据题意，由（z+1）²ⁿ+（z-1）²ⁿ=0，得出（z+1）²=-（z-1）²，利用共轭复数的性质，即可得出结论．

解答 证明：∵（z+1）²ⁿ+（z-1）²ⁿ=0，
∴（z+1）²ⁿ=-（z-1）²ⁿ，
∴（z+1）²=-（z-1）²，
∴（z+1）（$\overline{z}$+1）=（z-1）（$\overline{z}$-1）；
化简得 z+$\overline{z}$=0，
∵z=0时不成立，
∴z为纯虚数．

点评 本题考查了复数的概念与运算问题，也考查了推理与证明的能力，是基础题目．