Question

数列{a_n}满足a₁=1且．
（1）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）
（2）设，证明数列{b_n}的前n项和
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数学归纳法的证题步骤，关键验证当n=k+1时不等式成立；
（2）对通项进行放缩，利用裂项法求和，即可证得结论；
（3）先证明n≥2时，，再累加，即可证得结论．
解答：证明：（1）①当n=2 时，a₂=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2，那么．
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：a_n≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵，∴
当n=1时，，
当n≥2时，a_n≥2，，
故
=1+…（9分）
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：
∵ln（1+x）＜x，
∴，
∴（n≥2）
求和可得=
而a₂=2，∴，∴（n≥2），而
故对任意的正整数n，有．…（14分）
点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法、累加法，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．