Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中点．
（Ⅰ）在线段B₁C₁上是否存在一点N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出点N的位置幷证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，可以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出N点坐标，根据MN⊥平面A₁BC，则

MN

•

BA1

=0，

MN

•

CA1

=0，构造方程组，若方程组有解，则存在满足条件点N，若方程组无解，则不存在满足条件点N；
（II）分别求出平面A₁AB和平面A₁BC的法向量，代入向量夹角公式，求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的余弦值，进而可以求出平面A₁AB和平面A₁BC所成角的．

解答：解：（Ⅰ）根据题意CA、CB、CC₁两两互相垂直
如图：以C为原点，CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
设AC=BC=CC₁=a，则A₁（a，0，a），M(

a

2

，

a

2

，

a

2

)，B（0，a，0），B₁（0，a，a），A（a，0，0），C₁（0，0，a），
假设在B₁C₁上存在一点N，使MN⊥平面A₁BC，设N（0，y，a）
所以

BA1

=（a，-a，a），

CA1

=（a，0，a），

MN

=(-

a

2

，y-

a

2

，

a

2

)
由

MN

•

BA1

=0，

MN

•

CA1

=0，得：y=

a

2

∴N在线段B₁C₁的中点处（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A₁BC，则平面A₁BC的一个法向量为

n

=(1，0，-1)分
取AB中点D，连接CD，易证CD⊥平面A₁AB
∴可得面A₁AB的一个法向量

n1

=(

1

2

，

1

2

，0)（8分）
cos?

n

，

n1

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

所以面A₁AB和面A₁BC所成的角为

π

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间线线垂直及面面夹角问题转化为向量垂直和向量夹角问题是解答本题的关键．