Question

19．若0$＜α＜\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（2α+β）=$\frac{23}{27}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sinβ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：∵cos（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$\frac{1}{3}$，可得：cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，①
∴两边平方可得，1-sin2α=$\frac{2}{9}$，解得：sin2α=$\frac{7}{9}$，
∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，可得：cosα+sinα=$\sqrt{（1+sin2α）}$=$\frac{4}{3}$，②
∴由①②解得：cos2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
又∵sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{β}{2}$+cos$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，两边平方，可得：sinβ=$-\frac{1}{3}$，cosβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（2α+β）=cos2αcosβ-sin2αsinβ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{7}{9}$×（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{23}{27}$．
故答案为：$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．