Question

15．如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，E，F分别为SA，SD的中点．
（1）证明：EF∥平面SBC；
（2）若平面BEF⊥平面SAD，求S-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线的性质证明EF∥AD，进而证明EF∥BC，利用线面平行的判定定理证明：EF∥平面SBC；
（2）取AD的中点G，连接SG交EF于点H，连接BH，BG，证明SG⊥平面BEF，利用锥体的体积公式求S-ABCD的体积．

解答 （1）证明：因为E，F分别是SA，SD的中点，所以EF∥AD，
又因为AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面SBC，所以EF∥平面SBC．-------------（4分）．
（2）解：取AD的中点G，连接SG交EF于点H，连接BH，BG，
则由题意可得SG⊥EF，H是SG的中点，
因为平面BEF⊥平面SAD，且平面BEF∩平面SAD=EF，
所以SG⊥平面BEF，SG⊥BH，所以BG=BS=$\sqrt{5}$，
根据勾股定理可得$h=\sqrt{3}$，
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×h×{S_{ABCD}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．------（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查锥体体积的计算，正确运用线面平行的判定定理是关键．