Question

20．根据定积分的几何意义计算积分的值：${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$．

Answer 1

分析 根据定积分的几何意义，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$表示以（1，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx表示如图所示的阴影部分的面积，
因为阴影部分的面积是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，
故${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$=$\frac{1}{4}$π×2²=π．

点评 本题考查了定积分的几何意义，属于基础题．