Question

如图，直线l₁与l₂是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l₁上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l₁上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．

(Ⅱ)过点D且不与l₁、l₂垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：①②③求点G的横坐标的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l₁为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，动点M的轨迹方程为.

(Ⅱ点G的横坐标的取值范围为(0，）.

解析:

(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l₁为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），

则N（x，0）.   

∵|BN|=2|DM|，    ∴|4－x|=2,

整理得3x²+4y²=12,    ∴动点M的轨迹方程为.

(Ⅱ)∵

∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。        

设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x²+4y²=12得

(3+4k²)x²－8k²x+4k²－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，

∴l与椭圆必有两个交点，

设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，EF的中点H的坐标为（x₀，y₀），

∴x₁+x₂=，x₁x₂=  ，      

x₀= = ，y₀=k(x₀－1)= ，   

∴线段EF的垂直平分线为

y－ y₀ =－  (x－x₀)，令y=0得，

点G的横坐标x_G = ky₀+x₀ = + =

= －，

∵k≠0，∴k²>0，∴3+4k²>3，0<<，∴－<－<0，

∴x_G= －(0，）

∴点G的横坐标的取值范围为(0，）.