Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA． （Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．（用反三角函数表示）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴， 建立如图所示的直角坐标系B﹣xyz．
设BC=a，则A（0，3，0），P（0，0，3），
D（3，3，0），C（0，a，0），
=（3，3﹣a，0）， ，
∵CD⊥PD，∴ ，
即3（3﹣a）+9=0．∴a=6．
∵ ， ，
∴ ．
∴异面直线CD与AP所成的角为60°．
（Ⅱ）证明：连结AC交BD于G，连结EG．
∴ ，∴ ．
∴PC∥EG…（6分）又EG平面EBD，PC平面EBD，
∴PC∥平面EBD
（Ⅲ）解：设平面BED的法向量为 =（x，y，z）， ，
由
又因为平面ABE的法向量 ，
．
所以，二面角A﹣BE﹣D的大小为 ．

【解析】（Ⅰ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立如图所示的直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出异面直线CD与AP所成的角．（Ⅱ）连结AC交BD于G，连结EG，由已知得PC∥EG，由此能证明PC∥平面EBD．（Ⅲ）求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的大小．
【考点精析】利用异面直线及其所成的角和直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．