Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{b}$=（2$\sqrt{2}$，1），且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$（λ∈R），则f（x）=3x+$\frac{|λ|}{x+1}$（x＞-1）的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{a}=（x，y）$，从而由条件：$|\overrightarrow{a}|=1，λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$便可得到关于λ的方程组，$\left\{\begin{array}{l}{λx+2\sqrt{2}=0}\\{λy+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，容易解出λ=±3，然后将f（x）变成$f（x）=3（x+1）+\frac{3}{x+1}-3$，根据基本不等式即可得出f（x）的最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{a}=（x，y）$，则$λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（λx+2\sqrt{2}，λy+1）=\overrightarrow{0}$；
又$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λx+2\sqrt{2}=0}\\{λy+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$；
解得λ=±3；
∴|λ|=3；
∵x＞-1；
∴x+1＞0；
∴$f（x）=3x+\frac{3}{x+1}=3（x+1）+\frac{3}{x+1}-3$≥6-3=3，当x=0时取“=”；
∴f（x）的最小值为3．
故选D．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度，以及利用基本不等式求函数最值，注意判断等号能否取到．