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13.已知B(-2,0),C(2,0),△ABC的内切圆切BC于D点,且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$,则顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1(x>\sqrt{2})$.

分析 由题意画出图形,由图可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$,即点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),则顶点A的轨迹方程可求.

解答 解:如图,
设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点,
则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,
又|AE|=|AF|,
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$,
∴点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),
且a=$\sqrt{2}$,c=2,
∴b=$\sqrt{{2}^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2}$,
∴方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1(x>\sqrt{2})$.
故答案为:$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1(x>\sqrt{2})$.

点评 本题考查双曲线的定义,考查了平面几何知识在求解圆锥曲线问题中的应用,是中档题.

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力分组
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