Question

9．设等差数列{a_n}满足：cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos2a₃=sin（a₁+a₇），a₄≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z且公差d∈（-1，0），若当且仅当n=8时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3π}{2}$，2π]
• B． （$\frac{3π}{2}$，2π）
• C． [$\frac{7π}{4}$，2π]
• D． （$\frac{7π}{4}$，2π）

Answer 1

分析 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a₁取值范围．

解答 解：∵cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos2a₃=sin（a₁+a₇），
∴cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos²a₃+sin²a₃=sin（a₁+a₇），
即cos²a₃（cos²a₅-1）-sin²a₃（sin²a₅-1）=sin2a₄，
即-cos²a₃sin²a₅+sin²a₃cos²a₅=sin2a₄，
即（sina₃cosa₅-cosa₃sina₅）（sina₃cosa₅+cosa₃sina₅）=sin2a₄，
即sin（a₃-a₅）sin（a₃+a₅）=sin2a₄，
即-sin2dsin（2a₄）=sin2a₄，
∵a₄≠$\frac{kπ}{2}$，∴sin2a₄≠0，
∴sin（2d）=-1．
∵d∈（-1，0），∴2d∈（-2，0），
则2d=$-\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{4}$．
由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{π}{8}$n²+（a₁+$\frac{π}{8}$）n．
对称轴方程为n=$\frac{4}{π}$（a₁+$\frac{π}{8}$），
由题意当且仅当n=8时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴$\frac{15}{2}$＜$\frac{4}{π}$（a₁+$\frac{π}{8}$）＜$\frac{17}{2}$，解得：$\frac{7π}{4}$＜a₁＜2π．
∴首项a₁的取值范围是（$\frac{7π}{4}$，2π），
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．