Question

【题目】已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+2＝2an，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn，设数列{bn}的前项和为Tn，若Tn，求n的最小值.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n（2）10

【解析】

（1）由数列{an}的前n项和与项满足Sn+2＝2an，n∈N*.消掉Sn可得数列{an}是等比数列，进而求数列{an}的通项公式.

（2）由（1）得数列{bn}的通项公式，裂项求和算出Tn＝1，再由Tn，解整数不等式可求n的最小值.

（1）当n＝1时，S1+2＝2a1，解得a1＝2，

当n≥2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1，∴Sn+2﹣（Sn﹣1+2）＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1

∴2，则{an}是以2为首项，2为公比的等比数列.

故an＝2n.

（2）由（1）可得bn

∴Tn＝b1+b2+…+bn＝（1）+（）+…+（）＝1，

又Tn，即1，

∴2n+1＞2021，由于n∈N，∴n≥10，

故n的最小值为10.