Question

（2008•如东县三模）函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中mn＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为

8

．

Answer 1

分析：由题意可求得定点A的坐标，代入y=mx+n，可得到m，n之间的关系，利用基本不等式即可得答案．

解答：解：∵函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，
∴当x=2时，y=1，
∴A（2，1）．
又点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中mn＞0，
∴2m+n=1，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0．
∴

1

m

+

2

n

=（

1

m

+

2

n

）•（2m+n）=4+

n

m

+

4m

n

≥8（当且仅当n=2m=

1

2

时取“=”）．
故答案为：8．

点评：本题考查基本不等式，根据题意得到m，n之间的关系是关键，属于基础题．