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如图所示,已知在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SMx,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:

(1)设f(x)为绳子最短长度的平方,求f(x)表达式;
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
(1)f(x)=AM2x2+16(0≤x≤4)(2)(3)32

试题分析:将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图,则该展开图为扇形,且弧AA′的长度L就是⊙O的周长,
L=2πr=2π.∴∠ASA′=×360°=×360°=90°,
(1)由题意知,绳长的最小值为展开图中的AM,其值为AM (0≤x≤4),
f(x)=AM2x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作SRAM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离.在△SAM中,∵SSAMSA·SMAM· SR
SR (0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,∴f(x)的最大值为f(4)=32.
点评:解决此类问题的关键是正确转化,将所要求解的问题转化为熟悉的数学问题进行解决.
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