Question

如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：

(1)设f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．

Answer 1

（1）f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)（2）（3）32

试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝×360°＝×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．在△SAM中，∵S_△SAM＝SA·SM＝AM· SR，
∴SR＝＝ (0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x²＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
点评：解决此类问题的关键是正确转化，将所要求解的问题转化为熟悉的数学问题进行解决.