Question

【题目】已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1

∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立

∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，

再令m=x，n=﹣x，则有f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，

∴f（﹣x）=2﹣f（x），

∴f（﹣x1）=2﹣f（x1）

而f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴函数f（x）在R上为增函数

（2）解：∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f（1）+f（1）﹣2=3f（1）﹣2=4

∴f（1）=2．

∴f（a2+a﹣5）＜2，即为f（a2+a﹣5）＜f（1），

由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a﹣5＜1，即a2+a﹣6＜0，

∴﹣3＜a＜2

∴不等式f（a2+a﹣5）＜2的解集是{a|﹣3＜a＜2}

【解析】（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立，令m=n=0，有f（0）=1，再令m=x，n=﹣x，结合条件得到f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），即可求得结果；（2）f（a2+a﹣5）＜2，即为f（a2+a﹣5）＜f（1），由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a﹣5＜1，解此不等式即得．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数单调性的性质是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．