【题目】设函数f(x)=|x﹣2|+2x﹣3,记f(x)≤﹣1的解集为M.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当x∈M时,证明:x[f(x)]2﹣x2f(x)≤0.
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【题目】锐角△ABC中,其内角A、B满足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D为AB的中点,CD=1,求△ABC面积的最大值.
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【题目】艾萨克牛顿(1643年1月4日﹣1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{xn}:满足 ,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1,2,数列{xn}为牛顿数列,设 ,已知a1=2,xn>2,则{an}的通项公式an= .
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【题目】已知函数g(x)= +g(x).
(1)试判断g(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(0,1)上有极值,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,若f(x)有唯一的零点x0 , 试求[x0]的值.(注:[x]为取整函数,表示不超过x的最大整数,如[0.3]=0,[2.6]=2,[﹣1.4]=﹣2;以下数据供参考:ln2=0.6931,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946)
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【题目】如图,四棱锥S﹣ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.
(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小.
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【题目】一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(参考数据: ° , )
(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;
(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)的图象在点(x0 , f(x0))处的切线方程l:y=g(x),若函数f(x)满足x∈I(其中I为函数f(x)的定义域),当x≠x0时,[f(x)﹣g(x)](x﹣x0)>0恒成立,则称x0为函数f(x)的“穿越点”.已知函数f(x)=lnx﹣ x2﹣ 在(0,e]上存在一个“穿越点”,则a的取值范围为( )
A.[ ,+∞)??
B.(﹣1, ]??
C.[﹣ ,1)??
D.(﹣∞,﹣ ]
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【题目】已知D为圆O:x2+y2=8上的动点,过点D向x轴作垂线DN,垂足为N,T在线段DN上且满足 .
(1)求动点T的轨迹方程;
(2)若M是直线l:x=﹣4上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P,Q两点,求证:直线PQ必过定点E,并求出点E的坐标;
(3)若(2)中直线PQ与动点T的轨迹交于G,H两点,且 ,求此时弦PQ的长度.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为 ,曲线C2的极坐标方程为 .
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q曲线C2上一点,求|PQ|的最小值.
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