Question

已知函数（其中，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；
（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；
（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．

Answer 1

（Ⅰ）函数在区间上是单调递减函数；（Ⅱ）；
（Ⅲ）实数k的取值范围是；证明详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）求导，根据其符号即可得其单调性；（Ⅱ）当时，，通过导数可得其范围，从而得出与2的大小；（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征，结合图象便可知取何值时，方程有两个根.

结合图象可知，函数的两个极值点，满足.
，这里面有两个变量，那么能否换掉一个呢？
由，得，利用这个关系式便可将换掉而只留：
，这样根据的范围，便可得，从而使问题得证.
试题解析：（Ⅰ）由可知，当时，由于，，
故函数在区间上是单调递减函数． 3分
（Ⅱ）当时，，则，  4分
令，，
由于，故，于是在为增函数， 6分
所以，即在恒成立，
从而在为增函数，故． 8分
（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，
即方程有两个根，设，则，
当时，，函数单调递增且；
当时，，函数单调递增且；
当时，，函数单调递减且．
要使有两个根，只需．
故实数k的取值范围是． 10分
又由上可知函数的两个极值点