Question

已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若过两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数进行求导，通过a的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．
（2）根据导函数的根，判断a的范围，进而解出直线l的方程，利用l与x轴的交点为（x，0），可解出a的值．
解答：解：（1）f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1．
①当a≥1时，f′（x）≥0，
且仅当a=1，x=-1时，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函数；
②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，
x₁=-1-，x₂=-1+，
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
（2）由题意x₁，x₂，是方程f′（x）=0的两个根，
故有a＜1，，，
因此=
=
==，
同理．
因此直线l的方程为：y=．
设l与x轴的交点为（x，0）得x=，

=，
由题设知，点（x，0）在曲线y=f（x）上，故f（x）=0，
解得a=0，或a=或a=
点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力．