Question

3．在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：

学生	A	B	C	D	E
数学（x分）	89	91	93	95	97
物理（y分）	87	89	89	92	93

（Ⅰ）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程．
（Ⅱ）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及期望．（附：回归方程$\widehat{y}$=bx+a中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出x，y的平均数，从而求出物理分y对数学分x的回归方程．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（89+91+93+95+97）=93，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（87+89+89+92+93）=90…（2分）
$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=40，$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=30，
∴b=0.75，a=20.25．
∴物理分y对数学分x的回归方程为y=0.75x+20.25；   …（6分）
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，…（9分）
故X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

∴E（X）=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{1}{6}$=1．…（12分）

点评 本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．