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6.已知函数f(x)=xlnx+ax,函数f(x)的图象在点x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.
(1)求a的值和f(x)的单调区间;
(2)求证:ex>f′(x).

分析 (1)由f′(1)=1+a=2,解得:a=1,利用导数求解单调区间.
(2)要证ex>f′(x),即证ex>lnx+2,x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x>lnx+1即可

解答 解:(1)f′(x)=lnx+1+a,
f′(1)=1+a=2,解得:a=1,
故f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,
令f′(x)>0,解得:x>e-2
令f′(x)<0,解得:0<x<e-2
故f(x)在(0,e-2)递减,在(e-2,+∞)递增;
(2)要证ex>f′(x),即证ex-lnx-2>0,即证ex>lnx+2,
x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x+1≥lnx+2即可,
即只需证明x>lnx+1即可
令h(x)=x-lnx+1,则h′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
令h′(x)=0,得x=1
h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
故h(x)≥h(1)=0.
即x+1≥lnx+2成立,即ex>lnx+2,
∴ex>f′(x).

点评 本题考查了导数的综合应用,构造合适的新函数,放缩法证明函数不等式,属于难题.

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乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表
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(2)通过调查,该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级:
满意度等级非常满意满意不满意
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