分析 (1)由f′(1)=1+a=2,解得:a=1,利用导数求解单调区间.
(2)要证ex>f′(x),即证ex>lnx+2,x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x>lnx+1即可
解答 解:(1)f′(x)=lnx+1+a,
f′(1)=1+a=2,解得:a=1,
故f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,
令f′(x)>0,解得:x>e-2,
令f′(x)<0,解得:0<x<e-2,
故f(x)在(0,e-2)递减,在(e-2,+∞)递增;
(2)要证ex>f′(x),即证ex-lnx-2>0,即证ex>lnx+2,
x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x+1≥lnx+2即可,
即只需证明x>lnx+1即可
令h(x)=x-lnx+1,则h′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
令h′(x)=0,得x=1
h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
故h(x)≥h(1)=0.
即x+1≥lnx+2成立,即ex>lnx+2,
∴ex>f′(x).
点评 本题考查了导数的综合应用,构造合适的新函数,放缩法证明函数不等式,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=sin$\frac{x}{2}$ | B. | y=sin x | C. | y=-tan x | D. | y=-cos 2x |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ①③④ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | 1+$\sqrt{2}$ | C. | 1+$\sqrt{3}$ | D. | 2+$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
PM2.5日平均浓度(微克/立方米) | [0,20] | (20,40] | (40,60] | (60,80] | (80,100] |
频数(天) | 2 | 3 | 4 | 6 | 5 |
满意度等级 | 非常满意 | 满意 | 不满意 |
PM2.5日平均浓度(微克/立方米) | 不超过20 | 大于20不超过60 | 超过60 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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