Question

已知函数f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（Ⅰ）当m＞0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当m≥1时，曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的取值的集合M．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的解析式求出f（x）的导函数，
（Ⅰ）把求出的导函数通分并分解因式后，由导函数的正负即可得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意可知点P在曲线C上，把点P的横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据切点坐标和求出的斜率写出切线的方程，与曲线C的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程只有一个解，设方程左边的式子等于g（x），且得到g（0）=0，求出g（x）的导函数，分m=1和m大于1两种情况考虑：当m=1时，代入得到g（x）的导函数大于等于0，即g（x）为增函数，符合题意；当m大于1时，根据导函数的正负讨论函数的单调性，进而得到函数在m大于1时有零点，不合题意，综上，得到满足题意m的取值范围．

解答：解：由题设知：f′(x)=mx-2+

1

x+1

  (x＞-1)
（Ⅰ）当m＞0时，f′(x)=

mx2-(m-2)x-1

x+1

=

m

x+1

(x-

2-m- m2+4

2m

)(x-

m2+4 -m+2

2m

)，
而

m2+4 -m+2

2m

＞0＞

2-m- m2+4

2m

；

2-m- m2+4

2m

-(-1)=

m+2- m2+4

2m

＞0
∴函数f（x）单调递增区间为(-1，-

m-2+ m2+4

2m

)∪(

m2+4 -m+2

2m

，+∞)；
单调递减区间为(-

m-2+ m2+4

2m

，

m2+4 -m+2

2m

)．
（Ⅱ）由题设知：P∈C，f'（0）=-1，切线l的方程为y=-x+1，
于是方程：-x+1=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)，即

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数根；
设g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，得g（0）=0；
g′(x)=

mx2+(m-1)x

x+1

=

mx

x+1

[x-(

1

m

-1)]，
当m=1时，g′(x)=

x2

x+1

≥0，g（x）为增函数，符合题设；
当m＞1时，有-1＜

1

m

-1＜0，得x∈（0，+∞），
g'（x）＞0，g（x）在此区间单调递增，g（x）＞0；
x∈(

1

m

-1，0)，g′(x)＜0，g(x)在此区间单调递减，g（x）＞0；
x∈(-1，

1

m

-1)，g′(x)＞0，g(x)在此区间单调递增，g(x)∈(-∞，g(

1

m

-1))；
此区间存在零点，即得m＞1不符合题设；
∴由上述知：M={1}．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，是一道中档题．