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在三棱锥A-BCD中,所有棱长都相等,过点A作底面BCD的垂线,垂足为H,点M是AH的中点,则∠BMC=
 
考点:直线与平面垂直的性质
专题:数形结合,空间位置关系与距离
分析:根据已知先求得BH的长,从而可求MH,BM,CM的值,由勾股定理可得BC2=MB2+CM2,可得BM⊥MC,即可求得∠BMC的值.
解答:
解:设三棱锥A-BCD中,棱长为1,如图,在底面BCD中,连接BH交CD于F点,连接CH交BD于E点,
根据正三棱锥的特征,则△BEH∽△BFD,有
BH
BD
=
BE
BF
,即
BH
1
=
1
2
3
2
,可得BH=
1
2
3
2
=
3
3

∴AH=
AB2-BH2
=
6
3

∴MH=
1
2
AH
=
6
6

∴BM=
BH2+MH2
=
2
2

同理可证,CM=
CH2+MH2
=
2
2

BC=1
∴BC2=MB2+CM2=1
∴BM⊥MC
∴则∠BMC=
π
2

点评:本题主要考查了直线与平面垂直的性质,正确的作出图形,分析边角关系是关键,属于基本知识的考查.
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