定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);
②当2≤x≤4时,f(x)=1-|x-3|.试解答下列问题:
(1)设c>2,方程f(x)=2的根由小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,试证明:数列a2n-1+a2n为等比数列;
(2)①是否存在常数c,使函数的所有极大值点均落在同一条直线上?若存在,试求出c的所有取值并写出直线方程;若不存在,试说明理由;②是否存在常数c,使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上?若存在,试求出c的所有取值并写出抛物线方程;若不存在,试说明理由.
【答案】
分析:(1)先利用分类讨论的方法化简函数f(x),令
,从而n≥3,故
或
,当n≥3时,
=
,于是a
1+a
2=2
2+2
3,a
3+a
4=2
3+2
4,从而a
2n-1+a
2n=2
n+1+2
n+2=12•2
n-1,n∈N
*.从而得出数列a
2n-1+a
2n构成以12为首项,2为公比的等比数列.
(2)记函数
的极大值点为p
n(x
n,y
n).由
=
(k表示直线的斜率),得c=2或c=1.分别求出当c=2时的抛物线方程,以及当c=4,
时,抛物线方程即可.
解答:解:函数f(x)是一个分段函数.
;
;
.
(1)令
,(2)
从而n≥3,故
或
,于是,
或
.
当n≥3时,
=
故
,
,
,
,于是a
1+a
2=2
2+2
3,a
3+a
4=2
3+2
4,从而a
2n-1+a
2n=2
n+1+2
n+2=12•2
n-1,n∈N
*.
故数列a
2n-1+a
2n构成以12为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)记函数
的极大值点为p
n(x
n,y
n).
令
,即x
n=3•2
n-2时,y
n=c
n-2,故p
n(3•2
n-2,c
n-2).
分别令n=1,2,3得
,p
2(3,1),p
3(6,c).
由
=
(k表示直线的斜率),得c=2或c=1.
当c=2时,y
n=2
n-2,x
n=3•2
n-2,所有极大值点均在直线
上;
当c=1时,y
n=1对n∈N
*恒成立,此时极大值点均在直线y=1上.(10分)
以原点为顶点的抛物线方程可设为x
2=py(p≠0)或y
2=qx(q≠0).
若p
n(3•2
n-2,c
n-2).在抛物线x
2=py(p≠0)上,则(3•2
n-2)
2=pc
n-2,
即
对n∈N
*恒成立,从而c=4,p=9,抛物线方程为x
2=9y;
若p
n(3•2
n-2,c
n-2).在抛物线y
2=qx(q≠0)上,则(c
n-2)
2=3q•2
n-2,
即
对n∈N
*恒成立,从而
,抛物线方程为y
2=
x(14分)
点评:本小题主要考查抛物线的标准方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.