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定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);
②当2≤x≤4时,f(x)=1-|x-3|.试解答下列问题:
(1)设c>2,方程f(x)=2的根由小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,试证明:数列a2n-1+a2n为等比数列;
(2)①是否存在常数c,使函数的所有极大值点均落在同一条直线上?若存在,试求出c的所有取值并写出直线方程;若不存在,试说明理由;②是否存在常数c,使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上?若存在,试求出c的所有取值并写出抛物线方程;若不存在,试说明理由.
【答案】分析:(1)先利用分类讨论的方法化简函数f(x),令,从而n≥3,故,当n≥3时,=,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,从而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*.从而得出数列a2n-1+a2n构成以12为首项,2为公比的等比数列.
(2)记函数的极大值点为pn(xn,yn).由=(k表示直线的斜率),得c=2或c=1.分别求出当c=2时的抛物线方程,以及当c=4,时,抛物线方程即可.
解答:解:函数f(x)是一个分段函数.



(1)令,(2)
从而n≥3,故,于是,
当n≥3时,=
,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,从而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*
故数列a2n-1+a2n构成以12为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)记函数的极大值点为pn(xn,yn).
,即xn=3•2n-2时,yn=cn-2,故pn(3•2n-2,cn-2).
分别令n=1,2,3得,p2(3,1),p3(6,c).
=(k表示直线的斜率),得c=2或c=1.
当c=2时,yn=2n-2,xn=3•2n-2,所有极大值点均在直线上;
当c=1时,yn=1对n∈N*恒成立,此时极大值点均在直线y=1上.(10分)
以原点为顶点的抛物线方程可设为x2=py(p≠0)或y2=qx(q≠0).
若pn(3•2n-2,cn-2).在抛物线x2=py(p≠0)上,则(3•2n-22=pcn-2
对n∈N*恒成立,从而c=4,p=9,抛物线方程为x2=9y;
若pn(3•2n-2,cn-2).在抛物线y2=qx(q≠0)上,则(cn-22=3q•2n-2
对n∈N*恒成立,从而,抛物线方程为y2=x(14分)
点评:本小题主要考查抛物线的标准方程、利用导数研究函数的极值、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
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