Question

已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①； ②；③．其中，型曲线的个数是（ ▲ ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

对于①，该线段的两端点的距离为，该点直线的距离为，若存，使为正三角形，则该正三角形的边长为，且，所以存在；
对于②，表示在第二象限的的半圆。假设是全圆，那么该点和原点的连线为圆的直径，也必为正三角形的中垂线，而此时为半圆，只能是在第三象限 的圆弧上对称存在两点。而该点和这两点所成的线段的夹角最小为（-1 -1）,（0 -1），（-1 0）三个点构成的夹角，必大于60度，所以不可能。
对于③表示双曲线在第四象限的一支，由于曲线是无穷长的，那么如果给定曲线上一点，必有另外一点与（-1 -1）该点的距离相等，由于线段的长度可以是连续变化的，那么两条线段之间的夹角也是可以连续变化的，所以总有成60度的时候，由于两条线段是按相等来取的，所以成正三角形。所以选C