Question

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为

 

．

Answer 1

分析：根据已知条件可推断出|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．

解答：解：由已知条件得
|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|…（1）
当y≥9时，（1）化为|x-1|+6=|x-6|，无解；
当y≤3时，（1）化为|x-1|=6+|x-6|，无解；
当3≤y≤9时，（1）化为2y-12=|x-6|-|x-1|．
若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；
若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5

2

；
若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．
综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为
1+5

2

+4=5（1+

2

）．
故答案为：5（1+

2

）．

点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生分析问题和创造性思维能力．