Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a ，a∈R． （Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≠1时， 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定义域是（0，+∞）， ． 令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．
①当△=4（1﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当△=4（1﹣a）2﹣4＞0时，即a＜0或a＞2时，方程g（x）=0有两个不等的实根， ．
若a＜0，由x1+x2=2（a﹣1）＜0，x1x2=1＞0得，x1＜0，x2＜0，
所以g（x）＞0在（0，+∞）成立，即f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a＞2，由x1+x2=2（a﹣1）＞0，x1x2=1＞0得，x1＞0，x2＞0，
由g（x）＞0得x的范围是（0，x1），（x2 ， +∞），由g（x）＜0得x的范围（x1 ， x2），
即f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2 ， +∞），f（x）的单调递减区间为（x1 ， x2）．
综上所述，当a＞2时，f（x）的单调递增区间为 ，f（x）的单调递减区间为 ；
当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．
（Ⅱ）由 ，得 ，
即 ，即 ，即 ．
①由（Ⅰ）可知当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），又f（1）=0，
所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0；
又当x∈（0，1）时， ，当x∈（1，+∞）时， ；
所以 ，即原不等式成立．
②由（Ⅰ）可知当a＞2时，f（x）在（0，x1），（x2 ， +∞）单调递增，在（x1 ， x2）单调递减，
且x1x2=1，得x1＜1＜x2 ， f（x2）＜f（1）=0，
而 ，所以 与条件矛盾．
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．
【解析】（Ⅰ）定义域是（0，+∞）， ．令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．对△=4（1﹣a）2﹣4与0的大小，分类讨论，即可得出单调性． （Ⅱ）由 ，得 ，即 ，即 ，即 ．对a分类讨论，利用（I）的f（x）的单调性，即可得出．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．