Question

（2012•荆州模拟）某市物价局调查了某种治疗流感的常规药品在2011年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格，调查发现该药品的批发价格按月份以每盒12元为中心价随一正弦曲线f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁（A₁＞0，ω₁＞0，|?₁|＜π）上下波动，且3月份的批发价格最高，为每盒14元，7月份的批发价格最低，为每盒10元；该药品在药店的销售价格按月份以每盒14元为中心价随另一正弦曲线g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂（A₂＞0，ω₂＞0，|?₂|＜π）上下波动，且5月份的销售价格最高，为每盒16元，9月份的销售价格最低，为每盒12元．
（1）求该药品每盒的批发价格f（x）和销售价格g（x）关于月份x的函数关系式；
（2）假设某药店每月初都购进这种药品c盒，且当月售完，那么该药店在2011年哪些月份是盈利的？说明理由．

Answer 1

分析：（1）求解正弦曲线f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁、g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂，关键是根据最值确定A₁，A₂、b₁、b₂的值，根据周期确定ω₁、ω₂的值，再根据最高点确定出?₁、?₂的值；
（2）先构建函数y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)，根据y＞0，解不等式即可得出结论．

解答：解：（1）由已知，b1=12，A1=

14-10

2

=2，又周期T₁=2（7-3）=8，则ω1=

π

4

，
从而f(x)=2sin(

π

4

x+?1)+12，
因为f（3）=14，所以2sin(

3π

4

+?1)+12=14，
所以sin(

3π

4

+?1)=1
又|?₁|＜π，即取?1=-

π

4

，批发价格函数为f(x)=2sin(

π

4

x-

π

4

)+12…（4分）
同理，销售价格函数为g(x)=2sin(

π

4

x-

3π

4

)+14…（6分）
（2）设该药店第x月购进这种药品c盒所获利润为y元，则y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)．
由y＞0得1-

2

sin

π

4

x＞0，即sin

π

4

＜

2

2

，
所以2kπ+

3π

4

＜

π

4

x＜2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
因为x≤12且x∈N^*，则x的值为4，5，6，7，8，12…（12分）

点评：本题考查三角函数解析式的确定，考查利用三角函数模型解决实际问题，正确求出三角函数解析式是解题的关键．