Question

已知曲线C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）画出曲线C的图象，
（2）（文）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范围；
（理）若直线l：y=kx-1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q为曲线C上的点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）去掉绝对值，将曲线化为两段曲线，分别画出这两段曲线即可
（2）理，直线y=kx-1过定点（0，-1），先讨论y≤0时有两个公共点时k的取值范围，再讨论y＞0时有一个公共点时k的取值范围，最后将两个范围合并即可
文，直线y=x+m的斜率为1，先讨论y≤0时有两个公共点时m的取值范围，再讨论y＞0时有一个公共点时m的取值范围，最后将两个范围合并即可
（3）将|PQ|表示为关于变量y的函数，先讨论y≤0时函数的最小值，再讨论y＞0时函数的最小值，最后将两个结果比较，取较小的作为|PQ|的最小值即可．

解答：解：（1）当y＞0时，曲线为x²-y²=1
当y≤0时，曲线为x²+y²=1
画出曲线C的图象如图
理（2）若l：y=kx-1与x²+y²=1（y≤0）有两个公共点，
则k∈[-1，0）∪（0，1]
若l：y=kx-1与x²-y²=1（y＞0）恰有一个公共点时直线l：y=kx-1与曲线C也有两个公共点，
所以由

y=kx-1 x2-y2=1(y＞0)

⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 k=± 

2

．                      
∴k的取值范围是{-

2

}∪∈[-1，0）∪（0，1]∪{

2

}

文（2）若l：y=x+m与x²+y²=1（y≤0）有两个公共点，
则d=

|m|

2

∈[

2

2

，1]，解得 m∈（-

2

，-1]
若l：y=x+m与x²+y²=1（y≤0）和x²-y²=1（y＞0）各有一个公共点，
则由图象知，m∈（-1，0）
∴m的取值范围是（-

2

，0）

（3）当y≤0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，当y=0时| PQ |min=

1+p2

当y＞0时，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=2( y- 

p

2

)2+

1

2

p2+1
当y=

1

2

p 时| PQ |min=

1+ 1 2  p2

由于

1+p2

＞

1+ 1 2 p2

∴|PQ|的最小值是

1+ 1 2 p2

点评：本题综合考查了直线与圆，直线与双曲线的关系，解题时要善于使用数形结合的思想方法，善于分类讨论，做到不重不漏，运算要认真准确，才能顺利解题