Question

【题目】若中心在原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆的直径是椭圆的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过C点且与圆交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得双曲线的焦点坐标和离心率，由此求得椭圆的值，进而求得椭圆标准方程.（2）当直线斜率不存在时，不能构成三角形，不符合题意.当直线的斜率存在且不为零时，设出直线的方程，得到直线的方程，计算圆心到直线的的距离，由直线和圆相交的弦长公式计算出弦长.利用直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式，计算出弦长.由此求得，利用换元法和基本不等式，求得面积的最大值，根据基本不等式等号成立的条件求得直线的斜率，由此求得直线的方程.当直线的斜率为零时，计算出，不是最大值.

（1）解：双曲线的焦点为，离心率为 ，

由题意，，，解得：，

.椭圆方程为 ；

（2）解：当直线AB斜率不存在时，不能构成三角形，不符合题意

当AB斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，直线CD的方程为

圆心到直线AB的距离为，

直线AB被圆所截得的弦长，

由得：，

，，

故，

，

令，则，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

此时，

当直线AB斜率为0，即轴时，，

面积的最大值为，这时直线AB的方程为.