Question

设函数f₁（x）=x，f₂（x）=log₂₀₁₄x，f₃（x）=

1

x

，a_i=

i

2015

 i=1，2，…，2015，记I_k=|f_k（a₂）-f_k（a₁）|+|f_k（a₃）-f_k（a₂）|+…+|f_k（a₂₀₁₅）-f_k（a₂₀₁₄）|，k=1，2，3 则（　　）

• A、I₁＜I₃＜I₂
• B、I₁＜I₂＜I₃
• C、I₂＜I₁＜I₃
• D、I₃＜I₂＜I₁

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可推出f₁（a_i+1）-f₁（a_i）=

i+1

2015

-

i

2015

=

1

2015

；f₂（a_i+1）-f₂（a_i）=log₂₀₁₄

i+1

2015

-log₂₀₁₄

i

2015

=log₂₀₁₄

i+1

i

＞0；f₃（a_i+1）-f₃（a_i）=

2015

i+1

-

2015

i

=-2015（

1

i

-

1

i+1

）＜0；从而代入求解．

解答： 解：∵f₁（a_i+1）-f₁（a_i）=

i+1

2015

-

i

2015

=

1

2015

；
故I₁=|f₁（a₂）-f₁（a₁）|+|f₁（a₃）-f₁（a₂）|+…+|f₁（a₂₀₁₅）-f₁（a₂₀₁₄）|
=

1

2015

×2014=

2014

2015

，
∵f₂（a_i+1）-f₂（a_i）=log₂₀₁₄

i+1

2015

-log₂₀₁₄

i

2015

=log₂₀₁₄

i+1

i

＞0；
故I₂=|f₂（a₂）-f₂（a₁）|+|f₂（a₃）-f₂（a₂）|+…+|f₂（a₂₀₁₅）-f₂（a₂₀₁₄）|
=log₂₀₁₄（

2

1

×

3

2

×…×

2015

2014

）=log₂₀₁₄2015＞1；
f₃（a_i+1）-f₃（a_i）=

2015

i+1

-

2015

i

=-2015（

1

i

-

1

i+1

）＜0；
故I₃=|f₃（a₂）-f₃（a₁）|+|f₃（a₃）-f₃（a₂）|+…+|f₃（a₂₀₁₅）-f₃（a₂₀₁₄）|
=2015[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

2014

-

1

2015

]
=2015（1-

1

2015

）=2014，
故I₁＜I₂＜I₃；
故选B．

点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．