Question

已知为两个正数，且，设当，时，．

（Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)证明：易知对任意，，．

由可知即．

同理，，即．

可知对任意，．

，

所以数列是递减数列．

，

所以数列是递增数列．                   ……………………5分

(Ⅱ)证明：．

                                                          ……………………10分

（Ⅲ）解：由，可得．

若存在常数使得对任意，有，

则对任意，．

即对任意成立．

即对任意成立．

设表示不超过的最大整数，则有．

即当时，．

与对任意成立矛盾．

所以，不存在常数使得对任意，有． ……14分