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设椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2
(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;
(2)设A(0,b),Q(3
3
5
4
b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,
3
4
b),且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
考点:双曲线的简单性质,椭圆的简单性质
专题:计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)求出椭圆的焦点,即有c=b,进而得到a2=b2+c2=2c2,由离心率公式即可得到;
(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1),(x1>0),运用垂心的定义和重心的定义,结合向量垂直的条件,计算即可得到a,b,进而得到椭圆和抛物线方程.
解答: 解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
可得c2=b2
由a2=b2+c2=2c2
有c=
2
2
a,所以椭圆C1的离心率e=
c
a
=
2
2

(2)由题设可知M,N关于y轴对称,
设M(-x1,y1),N(x1,y1),(x1>0),
则由△AMN的垂心为B,有
BM
AN
=0,
所以x1x2+(y1-
3
4
b)(y1-b)=0①
由于点N(x1,y1)在C2上,故有x12+by1=b2
由①②得y1=-
b
4
,或y1=b(舍去),
所以x1=
5
2
b,故M(-
5
2
b,-
b
4
),N(
5
2
b,-
b
4
),
所以△QMN的重心为(
3
b
4
),
由重心在C2上得:3+
b2
4
=b2
所以b=2,M(-
5
,-
1
2
),N(
5
,-
1
2
),
又因为M,N在C1上,所以
5
a2
+
1
4
b2
=1,得a2=
16
3

所以椭圆C1的方程为:
x2
16
3
+
y2
4
=1,抛物线C2的方程为:x2+2y=4.
点评:本题考查椭圆和抛物线的方程和性质,考查三角形的重心和垂心的概念,考查垂直的条件和重心坐标,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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1
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6
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5
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B、数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列
C、1,4,2,
1
3
5
不是数列
D、数列{2n-3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列

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双曲线
y2
a2
-
x2
b2
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1
a
)-|2-
1
a
|对任意实数a≠0恒成立,则x的取值范围是(  )
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B、(0,1]
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