解:(I)在方程y=x
2+bx中.令y=0,y=x,易得A(-b,0),B(1-b,1-b)
设圆C的方程为x
2+y
2+Dx+Ey=0,
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83290.png)
?
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83291.png)
,
故经过三点O,A,B的圆C的方程为x
2+y
2+bx+(b-2)y=0,
设圆C的圆心坐标为(x
0,y
0),
则x
0=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8059.png)
,y
0=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83292.png)
,∴y
0=x
0+1,
这说明当b变化时,(I)中的圆C的圆心在定直线y=x+1上.
(II)设圆C过定点(m,n),则m
2+n
2+bm+(b-2)n=0,整理得(m+n)b+m
2+n
2-2n=0,
它对任意b≠0恒成立,∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83293.png)
?
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83294.png)
或
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/34728.png)
故当b变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为(-1,1).
(III)抛物线M的顶点坐标为(-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8059.png)
,-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83295.png)
),若存在这样的抛物线M,使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径,
则|-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83296.png)
|≤
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83297.png)
,
整理得(b
2-2b)
2≤0,因b≠0,∴b=2,
以上过程均可逆,故存在抛物线M:y=x
2+2x,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径.
分析:(I)在方程y=x
2+bx中.令y=0,y=x,易得A,B的坐标表示,设圆C的方程为x
2+y
2+Dx+Ey=0,利用条件得出
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/83291.png)
,写出圆C的圆心坐标的关系式,从而说明当b变化时,圆C的圆心在定直线y=x+1上.
(II)设圆C过定点(m,n),则m
2+n
2+bm+(b-2)n=0,它对任意b≠0恒成立,从而求出m,n的值,从而得出当b变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标;
(III)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在这样的抛物线M,使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径,再利用不等关系,求出b,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定,圆的一般方程,抛物线的简单性质等知识点.综合性较强,考查学生数形结合的数学思想方法.