Question

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-2）的图象关于（2，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-4s）≥-f（4t-t²），若-2≤s≤2时，则3t+s的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据函数图象平移的公式结合奇偶性定义，可得函数y=f（x）是奇函数．因此将f（s²-4s）≥-f（4t-t²）变形，化简整理得到（s-t）（s+t-4）≥0，以s为横坐标、t为纵坐标建立坐标系，结合-2≤s≤2作出不等式组表示的平面区域如图所示．再将z=3t+s对应的直线l进行平移，即可得到当s=-2，t=6时，3t+s的最大值为16．
解答：解：∵y=f（x-2）的图象由y=f（x）函数图象向右移2个单位而得
∴由y=f（x-2）图象关于（2，0）点对称，可得函数y=f（x）的图象关于（0，0）点对称．
由此可得函数y=f（x）是奇函数
∴f（4t-t²）=-f（t²-4t）
∵f（s²-4s）≥-f（4t-t²），∴f（s²-4s）≥f（t²-4t）
又∵y=f（x）函数是增函数，
∴s²-4s≥t²-4t，移项得：s²-4s-t²+4t≥0
化简整理可得：（s-t）（s+t-4）≥0
以s为横坐标、t为纵坐标，建立如图直角坐标系，
则不等式表示的平面区域如图所示
即△ABC及其内部，其中A（2，2），B（-2，6），C（-2，-2）
设z=F（s，t）=3t+s，将直线l：z=3t+s进行平移，
可得当l经过点B时，z达到最大值
∴z_max=F（s，t）=3×6+（-2）=16
故答案为：16
点评：本题以函数的奇偶性和不等式等价变形为载体，考查了函数的图象与基本性质、二元一次不等式表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．