Question

已知两圆的圆心在原点0，半径分别是1和2，过点D任作一条射线0T，交小圆于点B，交大圆于点C，再过点B、c分别作y轴、x轴的垂线，两垂线相交于点P，又A坐标为（一1，0）．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点D（0，

5

3

）的直线L交轨迹E于点M、N，线段MN中点为Q，当L⊥QA时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设∠TOX=α则B（cosα，sinα），C（2cosα，2sinα），设P（x，y），由题意可求出P的参数方程，然后求出P的轨迹方程．
（2）当l⊥x轴时，推出l的方程为：x=0，验证是否满足AQ⊥l；当l与x轴不垂直时．设l的方程为y=kx+

5

3

，（k≠0），代入

x2

4

+y2=1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），利用斜率关系求出直线方程．

解答：解：（1）设∠TOX=α则B（cosα，sinα），C（2cosα，2sinα），
设P（x，y），由题意可知

x=2cosα y=sinα

消去α可得

x2

4

+y2=1．
（2）当l⊥x轴时，推出l的方程为：x=0，满足AQ⊥l；符合题意；
当l与x轴不垂直时．设l的方程为y=kx+

5

3

，（k≠0），代入

x2

4

+y2=1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则x0 =

x1+x2

2

=

- 120k 9+36k2

2

=-

60k

9+36k2

，
y0=kx0+

5

3

=-

60k 2

9+36k2

+

5

3

=

15

9+36k2

，
∴

15 9+36k2

- 60k 9+36k2 +1

=-

1

k

化简得4k²-5k+1=0解得k=1或k=

1

4

，经检验k=1，△＞0满足题意．
直线l的方程为：y=x+

5

3

，综上所述直线l的方程为x=0或y=x+

5

3

．

点评：本题是中档题，考查轨迹方程的求法，此时方程的应用，注意分类讨论是解题的关键，容易疏忽．考查计算能力．