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已知两圆的圆心在原点0,半径分别是1和2,过点D任作一条射线0T,交小圆于点B,交大圆于点C,再过点B、c分别作y轴、x轴的垂线,两垂线相交于点P,又A坐标为(一1,0).
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点D(0,
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)的直线L交轨迹E于点M、N,线段MN中点为Q,当L⊥QA时,求直线l的方程.
分析:(1)设∠TOX=α则B(cosα,sinα),C(2cosα,2sinα),设P(x,y),由题意可求出P的参数方程,然后求出P的轨迹方程.
(2)当l⊥x轴时,推出l的方程为:x=0,验证是否满足AQ⊥l;当l与x轴不垂直时.设l的方程为y=kx+
5
3
,(k≠0),代入
x2
4
+y2=1
,设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),利用斜率关系求出直线方程.
解答:解:(1)设∠TOX=α则B(cosα,sinα),C(2cosα,2sinα),
设P(x,y),由题意可知
x=2cosα
y=sinα

消去α可得
x2
4
+y2=1

(2)当l⊥x轴时,推出l的方程为:x=0,满足AQ⊥l;符合题意;
当l与x轴不垂直时.设l的方程为y=kx+
5
3
,(k≠0),代入
x2
4
+y2=1

设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),则x0 =
x1+x2
2
=
-
120k
9+36k2
2
=-
60k
9+36k2

y0=kx0+
5
3
=-
60k 2
9+36k2
+
5
3
=
15
9+36k2

15
9+36k2
-
60k
9+36k2
+1
=-
1
k

化简得4k2-5k+1=0解得k=1或k=
1
4
,经检验k=1,△>0满足题意.
直线l的方程为:y=x+
5
3
,综上所述直线l的方程为x=0或y=x+
5
3
点评:本题是中档题,考查轨迹方程的求法,此时方程的应用,注意分类讨论是解题的关键,容易疏忽.考查计算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
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2
,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak
(1)求椭圆G的方程
(2)求△AkF1F2的面积
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的焦点在x轴上,中心在原点,离心率e=
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2,点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点,设直线MA1、MA2的斜率分别为KMA1、KMA2,证明KMA1•KMA2为定值;
(Ⅲ)设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,A1、A2为长轴两个端点,M为椭圆上异于A1、A2的点,KMA1、KMA2分别为直线MA1、MA2的斜率,利用上面(Ⅱ)的结论得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
(只需直接填入结果即可,不必写出推理过程).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
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,右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求线段MN的长的最大值,并求出此时点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知两圆的圆心在原点0,半径分别是1和2,过点D任作一条射线0T,交小圆于点B,交大圆于点C,再过点B、c分别作y轴、x轴的垂线,两垂线相交于点P,又A坐标为(一1,0).
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点D(0,数学公式)的直线L交轨迹E于点M、N,线段MN中点为Q,当L⊥QA时,求直线l的方程.

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